Вот выигрыш в чистом числе итераций внутреннего цикла, без numpy и без привязки к железу. Итерация — это константное число операций по модулю.
n
Беллар (pi_n2)
цикл на ряде Госпера
наша формула
выигрыш против pi_n2
выигрыш против цикла на ряде Госпера
10³
2,95·10⁶
3,58·10⁵
5,6·10⁴
52×
6,4×
10⁴
2,21·10⁸
2,59·10⁷
3,5·10⁶
63×
7,4×
10⁵
1,79·10¹⁰
2,06·10⁹
2,7·10⁸
67×
7,7×
10⁶
1,51·10¹²
1,71·10¹¹
2,2·10¹⁰
69×
7,8×
10⁷
1,30·10¹⁴
1,47·10¹³
1,9·10¹²
69,5×
7,8×
Ускорение — настоящее математическое сокращение работы и не зависит от numpy: оно складывается из двух частей.
Ряд Госпера сокращает число слагаемых N примерно в 3,8 раза.
Сворачивание блоков (лемма про символ Лежандра для Эйлера, суммы ±2σ для Госпера) заменяет цикл по всем k для каждого простого коротким хвостом.