Новый ряд найден и работает. Это первый результат, где я могу честно сказать: формула быстрее Госпера и Плаффа 1996 в его же классе (убывание за член и число членов), с точной проверкой.
Найденная формула (π, не 1/π, поэтому подходит для десятичного извлечения):
105·π = −750 + Σ_{n≥1} Q(n) / ((−4)^n · C(8n,4n)), где Q(n) = 27346 − 339004·n + 1142058·n² − 1139800·n³.
Нашёл PSLQ по семейству C(an,bn); сверено с π до 500 знаков (расхождение ~10⁻⁵⁰⁰).
Убывание 1024 за член против 13,5 у Госпера и 2 у Плаффа. Для d знаков нужно ≈ 0,33·d членов вместо 0,89·d у Госпера и 3,3·d у Плаффа.
Не знаю, встречается ли именно эта формула в литературе: я не искал. Сам вид (C(an,bn) с PSLQ-коэффициентами) стандартный, так что считайте её «найдена, новизна не проверена».
Есть ещё C(6n,2n) с c = 1/4 (убывание 182).
Бенчмарк (мой одинарный поток, все цифры сверены с mpmath, certified=True):
d
Плафф, с (членов)
Госпер, с
C(6n,2n), с
C(8n,4n), с (членов)
1000
0,84 (3394)
0,19
0,13
0,12 (343)
5000
11,3 (16685)
1,88
1,54
1,41 (1673)
10000
40,8 (33296)
6,03
4,64
4,37 (3334)
На d = 10000 новый ряд в 9,3 раза быстрее ряда Плаффа и в 1,4 раза быстрее Госпера. Выигрыш относительно Госпера меньше, чем по числу членов (в 2,7 раза): для C(8n,4n) нужны простые до 8·N, и этот множитель съедает часть выигрыша.